Nomogramme

Un nomogramme est un outil graphique qui permet de trouver rapidement une valeur numérique sans calculs, en reliant plusieurs variables sur des échelles graduées. Il fonctionne avec des droites ou des courbes. Il a beaucoup d'applications. En voici deux exemples.

• En sciences sociales, il permet d'estimer le niveau de vie d’une population en fonction du revenu moyen et du coût de la vie. Si on considère le revenu moyen d'un ménage et le coût de la vie, par exemple, on peut lire directement le niveau de confort économique.
  

• En sciences médicales, il permet, par exemple, d'ajuster la posologie d’un médicament en fonction de la masse et de l’âge d’un patient. Il permet de trouver la posologie recommandée sans faire de calcul compliqué.
  

Dans cette activité, nous allons découvrir comment fonctionne un nomogramme.

Partie A : conjecture

Dans le fichier de géométrie dynamique suivant est affichée la courbe d'équation \(y=x²\) ainsi que les points\(​\text{A}​\) d'abscisse \(-a\) et \(\text{B}\) d'abscisse \(b\). Les valeurs de \(a\) et \(b\) peuvent être choisies à l'aide des deux curseurs disponibles. On a également tracé la droite \((\text{A}\text{B})\).

1. En changeant les valeurs de \(a\) et \(b\), observer l'allure de la droite \((\text{A}\text{B})\).
2. Positionner les curseurs \(a\) et \(b\) respectivement sur \(4\) et \(5\). Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite \((\text{A}\text{B})\) ?
3. Recommencer en positionnant \(a\) et \(b\) respectivement sur \(6\) et \(3\).
4. Deviner l'ordonnée à l'origine de la droite \((\text{A}\text{B})\), lorsque \(\text{A}\) a pour abscisse \(-3\) et \(\text{B}\) \(4{,}5\), puis vérifier.
5. À l'issue de cette expérience, quelle conjecture peut-on formuler sur l'ordonnée à l'origine de la droite \((\text{A}\text{B})\) ?

Partie B : démonstration

Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels positifs. Sur la courbe d'équation \(y=x²\), on note \(\text{A}\) le point d'abscisse \(-a\) et \(\text{B}\), le point d'abscisse \(b\).
1. Exprimer les coordonnées des points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) en fonction de \(a\) et \(b\).
2. Expliquer pourquoi la droite \((\text{A}\text{B})\) représente la fonction affine \(f\) définie par \(f(x)=(b-a)x+ab\).
3. Quelle relation y a-t-il entre l'ordonnée à l'origine de la droite \((\text{A}\text{B})\) et les valeurs 
\(a\) et \(b\) ?